¿Cómo dividir un cuadrilátero en dos partes de igual área?
Solemos decir que las tareas matemáticas ricas «rich task«, entre otras cosas,
- pueden dirigirse a personas con diferentes grados de conocimientos,
- plantean cuestiones fáciles de entender pero a la vez interesantes, con diferentes niveles de dificultad,
- tienen varios «grados de consecución», permitiendo aprender a la vez que se progresa en nuestras habilidades matemáticas,
- admiten varias soluciones creativas y abren la puerta a posibles generalizaciones.
Muchas veces, el decidir si una tarea es rica, depende de los ojos del que mira, para saber sacar el jugo al problema que queramos resolver.
En este caso, vamos a abordar la cuestión
¿Cómo dividir un cuadrilátero en dos partes de igual área?
Pues sí, se trata de una tarea rica que, según las capacidades y conocimientos de nuestro alumnado, y según qué parte de las matemáticas queramos abordar, podemos trabajar de una manera u otra.
Efectivamente, se trata de una cuestión con un planteamiento sencillo de enunciar y comprender:
dado un punto P en el borde del cuadrilátero, queremos encontrar un punto S (solución) de forma que
el segmento PS divida el cuadrilátero en dos partes de igual área.
Pero… ¿qué habilidades matemáticas queremos practicar con esta actividad?
Como hemos dicho anteriormente, dependerá de los conocimientos de nuestro alumnado y lo que más nos interese como profesores.
Veamos algunas opciones:
Estimación y comparación de áreas
★ Un primer enfoque podría ser la estimación y comparación de áreas a simple vista.
Proponiendo una actividad «reto» como esta, en la que los alumnos tendrán que esforzarse por estimar correctamente si las áreas de dos polígonos resultantes al dividir con el segmento PS son iguales, la necesidad de ser capaz de estimar áreas cobrará importancia y «utilidad» para ellos, y estarán constantemente entrenando su visión espacial.
La clave de esta actividad es disponer de suficientes modelos con los que hacer pruebas, comparar situaciones y extraer conclusiones.
Para ello, hemos preparado el siguiente applet con el que el alumnado podrá manipular el cuadrilátero, el punto inicial P y el punto S que utilizará para dividir la figura. Podrá crear sus propios ejemplos o resolver los que proponga el applet de forma automática. También tendrá la opción de visualizar las áreas resultantes y comprobar si su solución es la correcta.
A continuación mostramos el applet, con el que podemos interactuar moviendo los puntos A, B, C, D, eligiendo las casillas con las opciones que nos interesen, o visualizar la solución paso a paso, pulsando el botón Play o moviendo el deslizador:
Cuadriláteros
Ya desde este enfoque, podemos aprovechar para analizar los diferentes casos de cuadrilatero, recordando su clasificación con nuestros alumnos y observando el comportamiento de las soluciones.
Por ejemplo:
- ¿Será cierto que la solución siempre se encuentra en el segmento opuesto al que contiene a P?
- ¿Bajo qué condiciones estará en alguno de los lados contiguos?
- ¿Qué tipo de figuras se pueden obtener al dividir el cuadrilátero?
La importancia de medir el error
Mientras resolvermos los ejercicios «a mano alzada», podemos aprovechar para hacer ver que, aunque conociésemos cuál es la solución exacta, siempre cometeremos algún pequeño error al trazarla. Bien al hacerlo en papel (si imprimimos fichas de ejercicios) o bien al situar el punto S sobre el segmento si utilizamos el applet. Por eso, para decidir si la solución es correcta o no, es necesario saber medir el error cometido y qué margen de error es admisible.
¿Cómo podríamos hacerlo?
Una buena estimación podría ser calcular la diferencia entre el área de cualquiera de los polígonos obtenidos con nuestra solución, y la mitad del área del cuadrilátero original.
★ Esto nos lleva a la necesidad de distinguir entre error absoluto y error relativo, e introducir esos conceptos de una manera práctica. Claramente, no es lo mismo un error de 2u2 cuando el área del cuadrilátero original es 100u2 ¡que cuando es 3000u2!
Marcando la opción del applet para mostrar las medidas, podemos establecer cuál es el área del polígono ABCD y nos indicará el error cometido si es pequeño. En los ejercicios, también se mostrará el error cometido al dar nuestra solución.
En busca de la solución exacta
Cuando no estamos seguros de cómo resolver un problema tan genérico, un buen comienzo puede ser analizar diferentes casos particulares que, quizás, nos permitan hacer pequeñas conjeturas sobre cómo obtener la solución. Esta es la parte que hemos hecho previamente, con los ejercicios de «cálculo de las soluciones aproximadas».
Analizar el problema e intentar dar con la solución o refutar las pequeñas conjeturas que hagamos puede ser la forma ideal para mostrar a nuestros alumnos cómo es la investigación en matemáticas y que ellos la prueben en primera persona.
Si el caso general parece demasiado complicado para abordarlo directamente, podemos restringirnos a uno más concreto pero también interesante:
Estudio de un caso particular: paralelogramos
¿Cómo son las soluciones en el caso de los paralelogramos?
★ Tras practicar con varias figuras, podríamos conjeturar que el segmento que soluciona el problema siempre pasa por «el centro» de la figura.
Esto nos llevaría a una nueva cuestión: ¿qué es el centro de un paralelogramo?
Con algo más de investigación, podemos llegar a la conclusión de que los paralelogramos tienen un centro de simetría, y que es precisamente por ese punto por donde pasan las soluciones.
Si esto es así, cada vez que tengamos el punto «P» será sencillo encontrar la solución: basta trazar la recta que pasa por P y el centro del paralelogramo.
Pero ¿cómo justificamos que ésta será la solución? Para ello, nuestros alumnos tendrán que razonar sobre la simetría central, y que el punto S obtenido es el simétrico de P.
Además, tendrán que llegar a justificar que este procedimiento obtiene la solución precisamente porque el cuadrilátero queda dividido en dos figuras simétricas respecto el centro de simetría.
Podemos aprovechar esta solución para planteanos si, aparte de los paralelogramos, habrá otros cuadriláteros con centro de simetría. En otras palabras, tener centro de simetría, ¿caracteriza a los paralelogramos?
★ También podríamos intentar generalizar nuestra solución al caso en que el cuadrilátero no tiene centro de simetría. Quizás exista algún otro «Centro» que, una vez calculado, para dar con la solución baste con trazar la recta que lo une con el punto P.
- Nuestra intuición podría decirnos probemos por si ese «Centro» fuese el centro de gravedad (Baricentro) del polígono. Pero,
- ¿cómo se define el baricentro de una figura que no es un triángulo?
- ¿realmente nos sirve el baricentro para dar con la solución?
- Si resultase que baricentro no nos sirve, podríamos pensar en analizar el problema dibujando los segmentos que unen cada punto P con la solución S, por si tuvieran algún punto común que nos sirva como «Centro» para la resolución. Por ejemplo, ¿podría ser el punto medio de P y S? (que es lo que ocurre en el caso de los paralelogramos).
- Podemos analizar estas cuestiones con la ayuda del applet, utilizando las opciones para visualizar la solución S, el baricentro (Centro) de la figura y los puntos medios de los segmentos PS, así como el recorrido que harán al variar la posición de P; su lugar geométrico.
- Una opción más es utilizar el applet para observar qué ocurre en diferentes situaciones, puede llamarnos la atención el caso de los trapecios: sí que se aprecia que, al recorrer la base menor o el tramo central de la mayor, efectivamente ocurre que los segmentos PS tienen un punto en común. Podemos ayudar a nuestros alumnos a conjeturar el motivo.
Buscando la solución del caso general
Una vez que hemos analizado el caso particular de los paralelogramos y refutado varias conjeturas, podemos plantearnos la forma de encontrar una solución general. ¿Cómo lo hace el applet?
En el applet se nos ofrecen dos posibles formas para resolverlo. Los dos métodos se basan en utilizar el punto P para descomponer el cuadrilátero en otras figuras (triángulos) que nos permitan hacer manipulaciones con las áreas que nos lleven a encontrar el punto solución S.
★ Es un buen momento para abordar las triangulaciones de las figuras y su utilidad en el cálculo de áreas. Igualmente podemos evidenciar, viendo la elegancia con que se usa en la demostración geométrica para trasladar medidas de áreas de un sitio a otro, el hecho de que si dos triángulos tienen la misma base y altura, su área es la misma, no importa lo «inclinados» que estén.
Dependiendo de qué herramientas podamos utilizar en la resolución, elegiremos un método u otro.
- En el método algebraico, supondremos que podemos calcular el área de cualquier polígono, y también la longitud de cualquier segmento y operar con ellas.
La resolución se basará en triangular el cuadrilátero, y elegir los triángulos que necesitemos para cubrir la mitad del área del cuadrilátero original. De alguno de los triángulos habrá que elegir tan solo una parte, tomando una porción de su base. Para averiguar qué porción de la base es, utilizaremos proporcionalidad y porcentajes.
- En el método geométrico, habrá que resolverlo mediante transformaciones de figuras, disponiendo únicamente de útiles de dibujo: posibilidad de trazar paralelas, dividir segmentos en partes iguales, etc.
El método es parecido al anterior, pero más laborioso pues para comparar áreas y seleccionar una parte de un triángulo tendremos que realizar varias transformaciones geométricas.
- En el applet podemos ver las explicaciones paso a paso utilizando ambos métodos. En el geométrico, hemos partido del razonamiento algebraico al decidir sobre qué lado se encuentra la solución, para no hacer una razonamiento tan largo, aunque puede resolverse enteramente con los métodos geométricos que se desarrollan durante la explicación.
Como hemos dicho, los dos métodos se basan en triangular el cuadrilátero utilizando el punto P. Para ello, hemos supuesto sin darnos cuenta, que el segmento que une dos puntos del cuadrilátero está dentro del propio cuadrilátero, y por eso lo divide en dos partes.
Pero, ¿ese segmento divide siempre en dos partes al cuadrilátero?
Es bastante común que, al hablar de cuadriláteros, pensemos únicamente en cuadriláteros convexos, olvidando otros como, por ejemplo, la flecha, que tienen un ángulo cóncavo. Podemos utilizar el applet para plantear polígonos de este tipo y analizar qué necesitamos que ocurra para que haya solución en estos casos, y para qué puntos P el ángulo cóncavo hacer que estos métodos fallen.
★ Podemos aprovechar para estudiar las figuras cóncavas e intentar que nuestros alumnos justifiquen el hecho de que tener un ángulo cóncavo equivale a que haya dos puntos del polígono tales que el segmento que los une no está contenido en el polígono.
También podemos plantear cuestiones relativas a la resolución de la actividad:
- ¿Podríamos modificar los métodos de resolución para que funcionen en el caso de polígonos cóncavos?
- El incluir cuadriláteros cóncavos, ¿puede hacer que tengamos que introducir alguna modificación en el enunciado del problema?
Incluso en niveles como bachillerato, podemos aprovechar para analizar el problema desde el punto de vista de las funciones definidas a trozos.
★ Dado el polígono, el punto P, y numerando los lados, podríamos definir una función a trozos, por ejemplo entre 0 y 4, que calculase el área del polígono resultante al situar el punto S en el lado 1 (valores de x entre 0 y 1, según qué punto del lado 1 eligiésemos), en el lado 2 (valores entre 1 y 2), lado 3 (valores entre 2 y 3) o el lado 4 (valores entre 3 y 4). El razonamiento sería muy similar al método algebraico, y el cálculo en coordenadas nos servirá para recordar las diferentes maneras de el área de un triángulo a partir de las coordenadas de sus vértices.
Una vez construida la función, podemos utilizarla para resolver el problema, encontrando el punto en el que su valor es la mitad del área del polígono original.
… y tantas ampliaciones del problema como necesitemos
Hasta ahora, hemos analizado el caso de un cuadrilátero, pero está claro que muchas de las cuestiones pueden ampliarse a polígonos en general.
Por ejemplo:
- Si un polígono tiene simetría central, ¿podríamos construir la solución de manera análoga al caso de los paralelogramos?
- Los polígonos con simetría central, ¿tienen siempre lados paralelos dos a dos?
- ¿Cómo ampliarías el método de resolución algebraico a polígonos con 5 o más lados?
- Hemos hecho todo el desarrollo pensando en dividir en dos partes iguales. ¿Cómo modificarías los métodos de resolución para dividir en partes de, por ejemplo, 1/3 y 2/3 del área del cuadrilátero inicial?
- …
Conclusiones: ¿qué destrezas matemáticas podríamos trabajar con esta actividad?
- Estimación y comparación visual de áreas
- Clasificación de los cuadriláteros. Propiedades.
- Tipos de simetría.
- Baricentro de un polígono.
- Métodos matemáticos. Conjeturas y refutaciones.
- Lugar geométrico.
- Error relativo y absoluto. Diferencias y ventajas de utilizar uno u otro.
- Proporcionalidad y porcentajes.
- Métodos de cálculo de áreas: por composición y descomposición de figuras.
- Triangulación de un polígono y su aplicación al cálculo de áreas.
- Funciones definidas a trozos.
- Definición de convexidad, polígonos cóncavos y convexos.
Este post forma parte del Carnaval de Matemáticas, que en esta nonagésima sexta edición,
también denominada 12.3, está organizado por Rafael Martínez González a través de su blog El mundo de Rafalillo.
(*) Editado: El artículo quedó en segundo puesto en el Carnaval de Matemáticas.