A vueltas con las superficies

Escrito por Administrador en 26 de marzo de 2022. Publicado en GeoGebra.

Superficies de revolución

Una superficie de revolución se obtiene al hacer girar una curva, no necesariamente plana, sobre un eje. La curva se denomina generatriz y el eje, eje de giro.

Dependiendo del tipo de curva, obtendremos superficies con aspecto muy diferente entre sí. Por ejemplo

(clic para abrir el recurso en GeoGebra)

Además, a partir de la idea de superficie de revolución podemos crear una gran variedad de superficies nuevas, introduciendo algunas variaciones.

Para crearlas y poder dibujarlas con nuestro software matemático (en este caso, GeoGebra), nos será de utilidad analizar cómo dar las ecuaciones para estas superficies.

Ecuaciones paramétricas

Para deducir las ecuaciones, basta considerar que la superficie se obtiene al crear una circunferencia a partir de cada punto de la curva, que estará contenida en el plano perpendicular al eje que pasa por ese punto y tiene como radio la distancia del punto al eje.

Aquí, por comodidad, tomaremos como eje de giro el eje z. En ese caso, la ecuación de una circunferencia de radio r centrada en un punto del eje, de la forma (0,0,t) será $\{x=r cos(u),y=r sen(u), z=t\}$, para $0\leq u<2\pi$. Por eso, para una curva contenida en el plano y=0, de ecuaciones $c(v)=\{c_1(v),0,c_2(v)\}$, la correspondiente superficie de revolución será.

$\left\{\begin{array}{rl} x=&c_1(v)cos(u)\\ y=&c_1(v)sen(u)\\ z=&c_2(v) \end{array}\right.\qquad,\quad 0\leq u<2\pi$

pues para cada punto $(0,0,c_2(v))$ del eje, estamos situando una circunferencia de radio $c_1(v)$.

Así, podemos obtener de manera sencilla las ecuaciones paramétricas para el cilindro, el cono, etc.

Por ejemplo, el toro se obtiene al hacer girar una circunferencia de radio r, que se encuentra a una distancia d>r del eje. Por ejemplo, una circunferencia con centro en (d,0,0)

Como la ecuación de esa circunferencia es $c(v)=\{d+r\,cos(v),0,r\,sen(v)\},\ 0\leq v<2\pi$, tenemos las siguientes ecuaciones paramétricas del toro:

$\left\{\begin{array}{rl} x=&(d+r\,cos(v))cos(u)\\ y=&(d+r\,cos(v))sen(u)\\ z=&r\,sen(v) \end{array}\right.\qquad,\quad 0\leq u,v<2\pi.$

De manera parecida, podríamos obtener las ecuaciones para la esfera.

Generalizando las superficies de revolución

En las siguientes pestañas, veremos diferentes ejemplos de superficies que se pueden obtener introduciendo algunas variaciones en las ecuaciones obtenidas anteriormente. Todos ellos llevan los enlaces correspondientes a GeoGebra, para poder interactuar con las diferentes construcciones.

{tab title=»Superficies cíclicas» class=»blue»}

A partir de la construcción del toro, podríamos pensar en hacer variaciones. Por ejemplo, haciendo que el radio de la circunferencia generatriz varíe conforme giramos alrededor del eje. En este caso, la superficie obtenida ya no es de revolución, pero sí una superficie cíclica (pues está generada a partir de circunferencias). Concretamente,

Denominamos superficie cíclica, a las generadas por una familia de circunferencias cuyos centros están situados sobre una curva, denominada línea de centros, y las circunferencias yacen en el plano perpendicular a la curva en el punto. Como hemos dicho, en el caso del toro, las circunferencias se desplazan alrededor de otra circunferencia, y el radio es constante. Tomando un radio r(u) variable, la parametrización resultaría:

$\left\{\begin{array}{rl} x=&(d+r(u)cos(v))cos(u)\\ y=&(d+r(u)\,cos(v))sen(u)\\ z=&r(u)\,sen(v) \end{array}\right.\qquad,\quad 0\leq u,v<2\pi.$

Superficies cíclicas con línea de centros una circunferencia

Podemos hacer que los radios ondulen n veces entre dos valores, conforme giramos alrededor del eje, con una función del tipo

$r(u)=A\cdot \left(1-p\cdot cos(n\cdot u)\right),$

donde p se interpreta como un porcentaje. Ajustando $A=\frac{R_{max}+R_{min}}{2},\,p=\frac{R_{max}-R_{min}}{R_{max}+R_{min}}$, oscilarán entre los números $R_{max}\text{ y }R_{min}$
(*) Podemos generalizar admitiendo $R_{min}$ negativos, lo cual hará que $p$ sea superior al 100% y aparecezcan unos bucles extra de radio precisamente ese exceso sobre el 100%.

El resultado sería el siguiente:

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Línea de centros helicoidal

Podemos modificar la construcción anterior para que la línea de centros sea una hélice circular, de cierto paso $2\pi\cdot c$, entre cada vuelta. Las circunferencias se construirán de forma similar al caso anterior, pero teniendo en cuenta que, en cada punto, deben estar en el plano perpendicular a la hélice. Las ecuaciones de la hélice se obtienen con un procedimiento similar a las superficies de revolución, haciendo girar un único punto a la vez que lo desplazamos verticalmente. Sus ecuaciones resultarían:

$h(u)=\left\{\begin{array}{rl}
x=&d\cdot cos(u)\\
y=&d\cdot sen(u)\\
z=&c\cdot u
\end{array}\right.$

Considerando lo anterior, podemos obtener las ecuaciones paramétricas (ver el proceso de obtención en la página de GeoGebra). En este caso, la variable u valorará entre 0 y $2n\pi$, donde n es el número de vueltas que habrá en la hélice.

$superficie(u,v)=\left\{\begin{array}{rll}
x=&d\cdot cos(u)&+r(u)\cdot\left(cos(v)cos(u)+\frac{c}{s}sen(v)sen(u)\right)\\
y=&d\cdot sen(u)&+r(u)\cdot\left(cos(v)sen(u)-\frac{c}{s}sen(v)cos(u)\right)\\
z=&c\cdot u&+r(u)\cdot\frac{d}{s}sen(v)
\end{array}\right.$

(clic para abrir el recurso en GeoGebra)

Podemos transformar la parametrización de las circunferencias para que u, v resulten coordenadas ortogonales. En este caso, puede comprobarse que bastaría tomar u’=-u, v’=v+cu/s.

{tab title=»Conchas» class=»green»}

Mezclando los dos procesos anteriores, podemos pensar en hacer girar circunferencias alrededor de un eje, a la vez que las desplazamos (a lo largo de él y alejándolas), y modificamos su radio. Así, podemos obtener conchas de caracol, hélices o incluso un sacacorchos, siempre partiendo de nuestro sencillo procedimiento de parametrización de las superficies de revolución.

Concha de caracol

Para generar una concha de caracol, podemos partir de una circunferencia o una elipse y

hacerla girar n veces alrededor de un eje,
a la vez que aplicamos una traslación en la dirección del eje.
Como la sección de la concha va disminuyendo/aumentando, también aplicamos un factor de escala. Mantenemos las circunferencias tangentes al eje de rotación.
En la última vuelta, el centro de la correspondiente circunferencia estará a una altura $h_n$ y una distancia $r_n$del eje.
Por ejemplo, podemos utilizar crecimiento exponencial, con funciones como $r(u)=r_n\cdot\frac{ℯ^{\Large{\frac{u}{2\pi\cdot n}}}-1}{ℯ-1}$, o bien , o cualesquiera otras crecientes que se anulen para u=0 y, para $u=2\pi\cdot n$ valgan $r_n$ y $h_n$ respectivamente.

(clic para abrir el recurso en GeoGebra)

Con esto, una modelización de la concha de caracol en ecuaciones paramétricas cartesianas sería

$\left\{
\begin{array}{rll}
x=& &\phantom{-}\left(r{\small(u)}\cdot cos(v)+r{\small(u)}\right)cos(u)
\\
y=& &\phantom{-}\left(r{\small(u)} \cdot cos(v)+r{\small(u)}\right)sen(u),
\\
z=&\!\!\!h{\small(u)}\!\!\!&+ \phantom{(}r{\small(u)}\cdot sen(v)
\end{array}
\right.,\text{ para }{{0\leq v< 2\pi}\atop{0\leq u<2\pi\cdot n.}}$.

Como generalización, si queremos que las secciones resulten elipses, tales que el cociente entre su eje vertical y horizontal sea k, bastará con reemplazar la expresión de z por z=h(u)+k · r(u)·sen(v). Por ejemplo, podemos utlizar esto para hacer el efecto de «desplegar» de la animación anterior.

Hélices generalizadas

Tomando el radio y separación de cada circunferencia constante y lineal, resulta una hélice de radio de giro R, sección de radio r y n vueltas de paso h.

$\left\{
\begin{array}{rll}
x=& &\phantom{-}\left(r\cdot cos(v)+R\right)cos(u)
\\
y=& &\phantom{-}\left(r \cdot cos(v)+R\right)sen(u),
\\
z=&\!\!\!h\frac{u}{2\pi\cdot n}\!\!\!&+ \phantom{(}r\cdot sen(v)
\end{array}\right.,\text{ para }{{0\leq v< 2\pi}\atop{0\leq u<2\pi\cdot n.}}$

Tomando como R una función lineal, tendríamos una hélice cónica.

Con la siguiente actividad, podemos explorar algunas posibilidades:

(clic para abrir el recurso en GeoGebra)

Sacacorchos

Otro caso particular serían las superficies tipo «sacacorchos», que se obtienen como las anteriores, pero situando el centro de las circunferencias sobre el eje (R=0).
La ecuación paramétrica resultaría, por tanto:$$\left\{\begin{array}{rll}x=& &\phantom{-}r\cdot cos(v)\cdot cos(u)\\
y=& &\phantom{-}r \cdot cos(v)\cdot sen(u),\\z=&\!\!\!h\frac{u}{2\pi\cdot n}\!\!\!&+r\cdot sen(v)\end{array}\right.\text{ para }{0\leq v< 2\pi},\,{0\leq u<2\pi\cdot n.}$$

{tab title=»Helicoides» class=»grey»}

Generando helicoides

En general, para construir un helicoide a partir de una curva plana, el proceso es similar a la creación de una superficie de revolución, con la diferencia de que a la vez que giramos, hacemos una traslación en la dirección del eje de giro. En particular, la forma del helicoide dependerá también del paso (separación) que elijamos entre cada vuelta.
Para una curva definida en ecuaciones paramétricas como
$$\left\{\begin{array}{rl}
x(t)&=f_{x}\left(t\right)
\\
y(t)&=f_{y}\left(t\right)
\end{array}\right.$$procediendo de forma similar a los ejemplos visto hasta ahora, obtenemos que el helicoide correspondiente, con eje el eje Z y paso p entre vuelta y vuelta (que, por comodidad, podemos reescribir como p=2πb), vendrá dado por
$$\left\{\begin{array}{rl}
x&=f_{x}\left(v\right)cos(u)
\\
y&=f_{x}\left(v\right)sen(u)
\\
z&=f_{y}\left(v\right)+b\cdot u
\end{array}\right.$$Para dar un número k de vueltas, haremos variar u entre 0 y 2kπ.
(*) Si el paso p es nulo, obtenemos la correspondiente superficie de revolución.

La superficie de Dini

Esta superficie es el helicoide obtenido a partir de la curva tractriz, que es la trayectoria descrita por un objeto arrastrado por otro que se encuentra a distancia d de él.
En ecuaciones paramétricas, podemos expresar esta curva como
$$\left\{\begin{array}{rl}
x(t)&=d\cdot sen(t)
\\
y(t)&=d\cdot\left(ln\left(tan\left(\frac{t}{2}\right)\right)+cos(t)\right)
\end{array}\right.$$En particular, las ecuaciones de la supercifie de Dini serán:
$$\left\{\begin{array}{rl}
x&=d\cdot sen(v)\cdot cos(u)
\\
y&=d\cdot sen(v)\cdot sen(u)
\\
z&=d\cdot\left(ln\left(tan\left(\frac{v}{2}\right)\right)+cos(v)\right)+b\cdot u
\end{array}\right.$$(*) Para generar una rama de la tractriz, el parámetro t valora entre 0 y π/2≈1.57, que es donde x(t) es creciente. Entre π/2 y π, x(t) es decreciente.
(*) La superficie de revolución correspondiente a la tractriz es la seudoesfera.

(Clic para ver el recurso en GeoGebra)

Crea tu propia superficie helicoidal

En el recurso, asociado a la superficie de Dini, también se incluye la posibilidad de definir nuestra propia superficie helicoidal a partir de las ecuaciones paramétricas de una curva.
Por ejemplo, con media circunferencia tenemos un tobogán (recuerdemos que la ecuación paramétrica de una circunferencia es (cos(t), sen(t)). Podemos elegir -sen(t) para crear solo la parte inferior.

Prueba con diferentes tipos de curva para crear la tuya propia.

{tab title=»A vueltas con segmentos» class=»orange»}

Hemos analizado diferentes superficies relacionadas con los giros de circunferencias. Otra figura muy sencilla, pero que también ofrece posibilidades muy interesantes es el segmento (o la recta). Por ejemplo, podemos utilizarlo para generar cilindros, conos o troncos de cono. Veamos algunas generalizaciones:

Hélices y tornillos

Para generar un cono, basta con hacer girar un segmento inclinado. Pero si además lo hacemos deslizarse en la dirección de eje, obtenemos un helicoide. Con el procedimiento seguido hasta ahora para obtener ecuaciones paramétricas, podemos describirlo como

$
\left\{
\begin{array}{rl}
x=&u\cdot cos(v)\\
y=&u\cdot sen(v)\\
z=&v
\end{array}
\right.\quad,0\leq v<2\pi.
$

Pero, es más, si a la vez que generamos el heliciode, vamos aplastando los extremos de la superficie, concretamente multiplicando la componente z por $cos(u)$, obtenemos una superficie con forma de tornillo: el tornillo de Steinbach. Para tomar solo la parte parecida al tornillo, restringimos $-4\leq u\leq 4$.

Las ecuaciones serían

$
\left\{
\begin{array}{rl}
x=&u\cdot cos(v)\\
y=&u\cdot sen(v)\\
z=&v\cdot cos(u)
\end{array}
\right.\quad,0\leq v<2\pi\ ,\ -4\leq u\leq 4.
$

(Clic para ir a la actividad en GeoGebra)

Helicoides y catenoides

Por otra parte, pegando los extremos del helicoide, podemos transformarlo en una catenoide, sin necesidad de estirarlo en el proceso, es decir, a través de una transformación isométrica. Además, en este proceso, todas las superficies intermedias pueden conseguirse de curvatura media nula, esto es, superficies mínimas.

Una parametrización de la catenoide, obtenida como superficie de revolución a partir de la catenaria, es

$\left\{
\begin{array}{rl}
x=& cosh(u)\cdot cos(v)\\
y=&cosh(u)\cdot sen(v)\\
z=& u\end{array}\right., 0 \leq v< 2\pi .
$

(Clic para ir a la actividad en GeoGebra)

La catenoide se obtiene como superficie de revolución a partir de la catenaria, y es la única superficie mínima de revolución (aparte del plano). Además, fue la primera superficie no trivial que se demostró que era mínima, por Euler en 1744.

Para transformar el helicoide en catenoide de forma isométrica, podemos utilizar las siguientes ecuaciones (para el parámetro k de transformación, entre 0 y 2π).

$\left\{
\begin{array}{rrl}
x=& senh(u) sen(v)\,cos(k) &+\,\phantom{u} sen(k)\, cosh(u) cos(v)\\
y=&- senh(u) cos(v)\,cos(k) &+\, \phantom{u} sen(k)\, cosh(u) sen(v)\\
z=& v\, cos(k) &+\, u\, sen(k)\end{array}\right., 0 \leq v< 2\pi.
$

Los valores de u se tomarán según la longitud que queramos para el segmento que genera el helicoide. Por ejemplo, para que resulte igual que en la actividad anterior, de longitud 8 (el parámetro valoraba entre -4 y 4), tomaremos $-\frac{2 π}{3}\leq u< \frac{2π}{3}$, pues $senh\left(\pm\frac{2\pi}{3}\right)=\pm 4$.

{tab title=»Hiperboloides» class=»red»}

El hiperboloide de revolución es la superficie generada al hacer girar una hipérbola alrededor de uno de sus dos ejes de simetría.

Si tomamos el eje que no corta a la hipérbola, se obtiene un hipeboloide de una hoja, y tomando el otro eje, un hiperboloide de dos hojas. Además, el hiperboloide de una hoja es una superficie reglada que se obtiene como la superficie de revolución correspondiente a un segmento/recta que no esté contenido en un plano que pase por el eje. De las cirunferencias obtenidas, la de menor radio se denomina «cintura», y el hiperboloide se obtiene al hacer girar una recta alrededor de esta cintura.

En general, como cuádrica, podemos considerar el hiperboloide como una generalización del anterior, cambiando la «cintura» por una elipse. Su ecuación implícita reducida es

$$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=1$$

La cintura, es la elipse $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$, que podemos parametrizar mediante $\{a\,cos(u),b\,sen(u),0\}$. En el caso del hiperboloide de revolución, será una circunferencia de radio r, (igual a los parámetros a y b).

Considerando las identidades trigonométricas $sen^2x+cos^2x=1, cosh^2x-senh^2x=1$, podemos pasar a las ecuaciones paramétricas

$\left\{\begin{array}{rl}x=&a\,cosh(v)cos(u) \\y=&b\,cosh(v)sen(u)\\z=&c senh(v)\end{array}\right.$$
\quad\begin{array}{c}\text{y denotando}\\
\bar v:=senh(v),
\end{array}$ $\quad
\left\{\begin{array}{rl}
x=&a\sqrt{1+\bar{v}^2}\,cos(u) \\
y=&b\sqrt{1+\bar{v}^2}\,sen(u)\\
z=&c\, \bar{v}
\end{array}\right.
$

para $0\leq u<2\pi, v\in\mathbb R, \bar v\in\mathbb R$.

Para el hiperboloide de revolución, las ecuaciones se corresponden con la superficie generada al hacer girar la hipérbola $\{z=c\cdot\bar{v},y=0,x=r\sqrt{1+\bar{v}^2}\}$, cuya ecuación implícita será $\frac{x^2}{r^2}-\frac{z^2}{c^2}=1.$

Considerando que, para cualesquiera p,q, $(p\,cos(u)+q\,sen(u))^2+(p\,sen(u)-q\,cos(u))^2=p^2+q^2$, podríamos usar alguna de las dos posibles parametrizaciones referidas a las rectas del hiperboloide que, usando la ecuación del hiperboloide:

$\left\{\begin{array}{rl}
x=&a\left(\bar{v}\cdot sen(u)+cos(u)\right)\\
y=&b\left(\bar{v}\cdot cos(u)-sen(u)\right)\\
z=&\pm c \bar{v}
\end{array}\right.
$

Notar que, la rectas que pasan por un punto de la cintura de la forma $(a\,cos(u),-b\,sen(u),0)$, tienen como vector director $\overrightarrow{\left(a\,sen(u),b\,cos(u),\pm c\right)}$. En particular, la tangente del ángulo formado por estas rectas y el eje de giro es $\pm {\sqrt{a^2sen^2(u)+b^2cos^2(u)}}/c$ que, en el caso del hiperboloide de revolución, será constante $\pm\frac{r}{c}$.

También, podemos utilizar la identidad trigonométrica anterior para, dado m>0, reescribir las ecuaciones como

$\left\{\begin{array}{rl}
x=&a(m\bar{v}\cdot cos(u)+\sqrt{1+v^2}\,sen(u))\\
y=&b(m\bar{v}\cdot sen(u)-\sqrt{1+v^2}\,cos(u))\\
z=&c\,\sqrt{1+m^2} \bar{v}
\end{array}\right.$

Vectorialmente:

$
\left(\begin{array}{c}x\\y\\z\end{array}\right)=v\cdot\left(\begin{array}{l}
am\,cos(u)\\bm\,sen(u)\\c\sqrt{1+m^2}\end{array}\right)+
\sqrt{1+v^2}\cdot\left(\begin{array}{c}a\,sen(u)\\-b\,cos(u)\\0\end{array}
\right)
$

Por tanto, para cada valor de u, tenemos la intersección del hiperboloide con el plano que pasa por el punto correspondiente de la cintura y forma un ángulo $\omega$ con el eje, tal que $tan(\omega)=\frac{m\,r(u)}{c\sqrt{1+m^2}}$, donde $r(u)=\sqrt{a^2sen^2u+b^2cos^2u}$. Despejando m en la ecuación anterior, podemos elegir el ángulo del plano de corte, tomando $m(u)=\frac{c\, tan(\omega)}{\sqrt{c^2\,tan^2(\omega)-r^2(u)}} $, válida siempre que el ángulo sea menor que el formado por las rectas del hiperboloide.

(clic para abrir la construcción en GeoGebra)

Torso de pendiente constante sobre un hiperboloide de revolución

Si trazamos una curva de ángulo constante con el eje de giro sobre un hiperboloide de revolución de una hoja, y sobre ella hacemos deslizar un segmento, en la dirección de la curva, se obtiene una superficie desarrollable de pendiente constante. Esta superficie se denomina torso, pues es reglada y de curvatura nula.

Para generar el torso, partimos de su borde de regresión, que es una curva de pendiente constante sobre el hiperboloide. Denotemos $t=r/c$, la tangente del ángulo de las rectas del hiperboloide y ω el ángulo que formará la pendiente de las curvas con el eje de rotación que debe ser menor que el de las rectas del hiperboloide. Para $m:=\frac{t}{\sqrt{tan^2\omega-t^2}}$, considerando las ecuaciones anteriores, se puede comprobar que las ecuaciones de la curva de ángulo constante con el eje de giro, que será el borde de regresión son

$
b(u,v)=\left\{
\begin{array}{rl}
x=&r(m\,senh(mu)cos(u)+cosh(m\,u)sen(u)) \\
y=&r(m\,senh(mu)sen(u)-cosh(m\,u)cos(u)) \\
z=&c\sqrt{1+m^2}senh(mu)
\end{array}
\right.
$

Los segmentos que definen el torso deben tener la dirección $t\sqrt{1+m^2}\cdot\overrightarrow{\left(cos(u),sen(u),0\right)}+\overrightarrow{(0,0,m)}$, para tener la inclinación determinada por m, y estar en el mismo plano vertical que el vector tangente al borde de regresión. Tomando un vector de módulo 1, podemos parametrizar el torso introduciendo la variable v que, además, indicará la longitud del segmento, resultando las ecuaciones:

$torso(u,v)=b(u,v)+\frac{1}{\sqrt{t^2(1+m^2)+m^2}}\cdot(t\sqrt{1+m^2}cos(u),t\sqrt{1+m^2}sen(u),m)$.

(clic para ver la construcción en GeoGebra. Puede tardar en cargar)

{tab title=»El ocho» class=»grey»}

El ocho y sus generalizaciones

Esta superficie de revolución se obtiene al hacer girar sobre un eje una curva sinusoidal. Dependiendo del número de veces que oscile esta curva, obtendremos cierta cantidad de bucles. Para dos bucles, se conoce como la superficie del ocho. Con un solo bucle, tendríamos una esfera. Como generalización, podemos añadir más bucles, o bien modificar la proporción entre el ancho y el alto. En ese caso, obtenemos otras superficies, como por ejemplo, el elipsoide. Las ecuaciones paramétricas para la superficie del ocho son

$\left\{\begin{array}{rl}
x=&sen(2v)\cdot cos(u)\\
y=&sen(2v)\cdot sen(u)\\
z=&sen(v)\\
\end{array}\right.,\qquad\text{para }0\leq u<2\pi\quad,\quad -\frac{\pi}{2}\leq v\leq \frac{\pi}{2},$

donde hemos utilizado la variable u para girar alrededor del eje z y la variable v para la función seno generatriz.

La generalización a n bucles, con diferentes proporciones, determinadas por a y b, sería

$\left\{\begin{array}{rl}
x=&a\cdot sen(n\,v+k)\cdot cos(u)\\
y=&a\cdot sen(n\,v+k)\cdot sen(u)\\
z=&b\cdot sen(v)\\
\end{array}\right.,\qquad\begin{array}{l}
\text{para }0\leq u<2\pi\quad,\quad -\frac{\pi}{2}\leq v\leq \frac{\pi}{2}
\\
\text{y }k=0\text{ si }n\text{ es par},\,k=\frac{\pi}{2}\text{ si }n\text{ es impar.}
\end{array}$

(clic para abrir la construcción en GeoGebra)

{/tabs}

Para estas «generalizaciones», los applets de GeoGebra utilizados han sido:

Agradecimientos

Al grupo de telegram Retos Matemáticos, donde se ha propuesto estudiar muchas de estas superficies, y me han animado para escribir los applets con los modelos. En especial, al administrador del grupo, José Manuel Sánchez.

Otras referencias:

Kirischiev RI. Lines of slope on the second order surfaces of revolution. Matematika, nekotorie eyo prilozheniya i metodika prepodavaniya. Rostov-na-Donu, 1972; p. 80-94.
Krivoshapko S.N. y Ivanov V.N. Encyclopedia of analytical surfaces (pág 36). Springer International Publishing Switzerland, 2015.
Wunderlich Walter. Kurven konstanter ganzer Krümmung und fester Hauptnormalenneigung. Monatsh. ath. 1973; 77, No. 2, p. 158-171.

Este post forma parte del Carnaval de Matemáticas, que en esta nonagésima octava edición,
también denominada 13.1, está organizado por Rafael Martínez González a través de su blog El mundo de Rafalillo.

Edición: Este artículo quedó en segundo lugar en el Carnaval de matemáticas.

carnaval, GeoGebra