La proporcionalidad compuesta se da cuando los valores de una magnitud dependen, de forma proporcional a los otras dos o más magnitudes. Matemáticamente, esta dependencia se traduce en que esas otras magnitudes estarán multiplicadas entre sí y, quizás, por alguna constante. Además, si para alguna de ellas la dependencia es inversa, habrá que calcular primero su inverso. El efecto es que aparece multiplicada en el denominador.

• Al resolver ejercicios de proporcionalidad compuesta, podemos utilizar varias técnicas, como un planteamiento en forma de tabla. Para trabajarlo, podemos usar esta ficha interactiva (clic aquí).
• Un planteamiento desde el punto de vista de las funciones, sería calcular la constante de proporiconalidad y la dependencia funcional concreta. Podemos trabajar esta aproximación con esta ficha interactiva (clic aquí).

Un caso particular de este tipo de proporcionalidad son los repartos. Tienen la particularidad de que el total de la cantidad que debemos repartir, se corresponde con el total de las variables a repartir, una vez juntadas multiplicándolas. Como ese último dato no aparece explícitamente en el problema, es frecuente que a nuestro alumnado le resulte más difícil.

Por eso, proponemos algunas fichas para practicar. Veamos primero el caso inversamente proporcional.

Repartos inversamente proporcionales

La cocinera Ana y su pinche de cocina Pedro han cocinado 30 cupcakes en su pastelería en una hora.

• Pedro es más lento y tarda el doble que Ana en hacer cada cupcake.
• Así que no puede ser que cada uno haya hecho 30:2=15 cupcakes, sino que
• Pedro habrá hecho la mitad que Ana.
• Es lo que llamamos proporcionalidad inversa, entre el número de cupcakes y la velocidad.

Si lo resolvemos de cabeza, Pedro habrá hecho 10 cupcakes y Ana 20, que es el doble. Pero… ¿sabremos resolver «a ojo» cualquier situación de este tipo? En esta actividad aprenderemos a resolver situaciones similares, en las que hay que repartir una cantidad de forma proporcionalmente inversa a otra. Pero lo más importante es saber reconocer si la relación es directa o inversa. (*) Como se indica en el applet, la clave está en recordar que, tomando el inverso (pasar de 2 a 1/2), la relación cambia de inversa a directa, y podemos resolverlo como un reparto proporcional (pulsar aquí para ejercicios de reparto proporcional directo).

Forma de trabajar

Pulsa en el botón «¡Comenzamos!» para empezar a resolver tus propios ejercicios

1. Pulsando en «pista», los ejercicios muestran la solución paso a paso, así que puedes usar los primeros ejercicios para aprender a plantear y resolver.
2. Conforme vayas haciendo más problemas, te resultará más fácil y, poco a poco, no necesitarás la ayuda del applet.
3. Aunque se asignan puntuaciones a los ejercicios, debes resolverlos por tu cuenta en tu libreta, procurando que el proceso se entienda bien y sea fácil de leer. Por ejemplo, usando tablas como las del applet. El máximo son 10 puntos. Al alcanzarlo, el fondo de la pantalla pasará a ser verde.
4. Un buen consejo podría ser comenzar estructurando en la libreta los datos del enunciado, indicando en líneas separadas o en forma de tabla, la cantidad a repartir, entre quiénes se reparte y los valores de las magnitudes involucradas.
5. Para entender mejor los ejercicios, te vendrá bien probar con alguna de las ampliaciones que indicamos a continuación.

Saber más

Para aprender más de estos ejercicios, te proponemos fijarte en algunas cosas:

1. Podemos obtener más información de la que se nos pregunta. Por ejemplo, si nos dicen que hemos comprado 15 litros de aceite, y sabemos que 5 litros valían a 8€/kg y los otros 10 a 12€/kg, podemos ya calcular:
   • Cuánto dinero nos hemos gastado en cada tipo de aceite 5·8=40€ en el primero y 10·12=120 en el segundo.
   • Cuánto dinero nos hemos gastado en total. En este caso, 40+120=160€.
   • El precio medio al que hemos comprado ese aceite. En este caso,160€/15litros=10,67€/litro.

• Cuando resuelvas los ejercicios en la libreta, puedes razonar qué información es posible obtener e incluirla. Es posible que tu profesor/a te pida que lo hagas para poder evaluar la nota del applet.
• Realmente, no es necesario reducir a común denominador antes de hacer el correspondiente reparto de proporcionalidad directa.
  • Por ejemplo, podríamos hacer las divisiones con la calculadora y operar con los números decimales obtenidos (es decir, indicar 0,5 en lugar de 1/2, o 0,33 en lugar de 1/3 y así no tener que reducir a denominador común, que sería 6).
  • Prueba a resolver así alguno de los ejercicios, pero avisa primero a tu profesor/a e indica en la libreta que ese ejercicio lo vas a resolver operando con decimales.
• Los enunciados se han generado un poco «al azar» para que resulten cálculos no muy complicados. Puede que encuentres algún problema en el que los datos no te cuadran con la realidad. No te preocupes; apúntalos para debatirlo en clase y propón algún ajuste que podría haber en esas cantidades (no hace falta resolverlo con esos nuevos números).

Nuestro turno

Cuando ya sepamos resolver este tipo de ejercicios, conoceremos un poco cómo se estructuran. Es el momento de plantear y resolver nosotros un problema de reparto inversamente proporcional. Tendrás que entregarlo junto con el resto de problemas resueltos en la libreta. Debes elegir una situación diferente a las que aparecen en el applet (por ejemplo, no vale una en que llenemos un depósito con varios grifos). Como ayuda, aquí tienes un pequeño guion:

1. Asegúrate de que la proporcionalidad es inversa. Esto es, cuanto mayor sea la magnitud entre la que hay que repartir, menos le corresponderá.
2. Establece los valores de las magnitudes entre las que hay que repartir.
   • El valor del total a repartir lo dejaremos para el final.
   • Elige números sencillos, porque luego habrá que calcular su MCM para reducir a denominador común.
3. Resuelve la parte de simplificar los coeficientes reduciendo a denominador común, y calcula el correspondiente total.
4. Multiplica ese total por algún número sencillo, como 2, 3 o 10, y establece ese número como «total a repartir».
5. ¡Ya tienes los datos del problema junto su solución! Intenta que la redacción del problema resulte original. Redacta también la solución, incluyendo cómo justificas que la relación es inversa.

Reparto proporcional compuesto

Se trata de combinar el caso anterior con varios similares, o bien con repartos directos. Como hemos dicho, las magnitudes se multiplican entre sí.

Situación de Ejemplo

La cocinera Ana y su pinche de cocina Pedro han cocinado 60 pasteles en su obrador en cierto tiempo.

• Pedro puede hacer unas 3 bandejas de pasteles en 75 minutos.
• Ana prepara unas 4 bandejas en 50 minutos.

¿Cuántos ha preparado cada uno? En principio, estas situaciones pueden parecer complicadas de resolver de cabeza, pues

• si bien, cuanto más tiempo tarde una persona en preparar las bandejas, menos pasteles puede tener listos en un número de horas determinado. Es decir, el reparto es inversamente proporcional al tiempo.
• también es cierto que cuantas más bandejas prepare, obviamente más pasteles preparará en ese número de horas. Esto es, el reparto es directamente proporcional al número de bandejas.

Pensándolo un poco, podemos decir que

1. Pedro va a una velocidad de 3bandejas/75minutos=0,04bandejas/min, mientras que Ana las prepara a una velocidad de 4bandejas/50minutos=0,08bandejas/min.
2. La relación entre pasteles y velocidad es directa (cuanto más rápido preparen las bandejas, más pasteles terminarán en cierto tiempo), así que podemos hacer un reparto directamente proporcional.
3. Al ser proporcional, podemos simplificar multiplicando estas cantidades por el número que queramos; en este caso 100 (o, mejor, 100/4), y hacer el reparto proporcional a 4 y 8, con lo que Ana hará el doble de pasteles, y podemos concluir que Pedro habrá hecho 20 y Ana 40.
4. ¿Qué hemos hecho al razonarlo así?
   • Pues precisamente, en los pasos 1 y 2 hemos combinado las dos magnitudes: bandejas y tiempo, multiplicándolas, pero primero invirtiendo (dividiendo) el tiempo, pues la relación era inversa.
   • Así, en el paso 3 hemos podido resolverlo como un reparto directamente proporcional, aplicando la técnica que nos pareciese más conveniente.

En esta actividad aprenderemos a generalizar este razonamiento, par resolver situaciones similares, en las que hay que repartir una cantidad de forma proporcional a otras magnitudes.

• Ten en cuenta que lo más importante en estos problemas es saber reconocer el tipo de relación.
• ¡Mucho cuidado! en la misma situación, las variables pueden estar actuando de forma directa o inversa según pequeños cambios en el enunciado.

(*) En estos enlaces puedes aprender a resolver ejercicios de reparto proporcional directo y reparto proporcional inverso. (*) En este otro enlace (clic aquí), tienes ejercicios más sencillos de reparto compuesto, donde la relación siempre es directa/inversa.

 

Forma de trabajar

Será similar al caso anterior:

Pulsa en el botón «¡Comenzamos!» para empezar a resolver tus propios ejercicios

1. Pulsando en «pista», los ejercicios muestran la solución paso a paso, así que puedes usar los primeros ejercicios para aprender a plantear y resolver.
2. Conforme vayas haciendo más problemas, te resultará más fácil y, poco a poco, no necesitarás la ayuda del applet.
3. Aunque se asignan puntuaciones a los ejercicios, debes resolverlos por tu cuenta en tu libreta, procurando que el proceso se entienda bien y sea fácil de leer. Por ejemplo, usando tablas como las del applet. Presta mucha atención a la justificación que incluyes de por qué la relación es directa o inversa. La puntuación máxima es 10. Al alcanzarla, el fondo de la pantalla pasará a ser verde.
4. Un buen consejo podría ser comenzar estructurando en la libreta los datos del enunciado, indicando en líneas separadas o en forma de tabla, la cantidad a repartir, entre quiénes se reparte y los valores de las magnitudes involucradas.
5. Para entender mejor los ejercicios, te vendrá bien probar con alguna de las ampliaciones que se indican más abajo (apartado «Saber más»).

Saber más

Para aprender más de estos ejercicios, te proponemos fijarte en algunas cosas:

1. Podemos obtener más información de la que se nos pregunta. Por ejemplo, si nos dicen que hemos comprado 15 litros de aceite, y sabemos que 5 litros valían a 8€/kg y los otros 10 a 12€/kg, podemos ya calcular:
   • Cuánto dinero nos hemos gastado en cada tipo de aceite 5·8=40€ en el primero y 10·12=120 en el segundo.
   • Cuánto dinero nos hemos gastado en total. En este caso, 40+120=160€.
   • El precio medio al que hemos comprado ese aceite. En este caso, 160€/15litros=10,67€/litro.

• Cuando resuelvas los ejercicios en la libreta, puedes razonar qué información es posible obtener e incluirla. Es posible que tu profesor/a te pida que lo hagas para poder evaluar la nota del applet.
• Realmente, no es necesario reducir a común denominador antes de hacer el correspondiente reparto de proporcionalidad directa.
  • Por ejemplo, podríamos hacer las divisiones con la calculadora y operar con los números decimales obtenidos (es decir, indicar 0,5 en lugar de 1/2, o 0,33 en lugar de 1/3 y así no tener que reducir a denominador común, que sería 6).
  • Prueba a resolver así alguno de los ejercicios, pero avisa primero a tu profesor/a e indica en la libreta que ese ejercicio lo vas a resolver operando con decimales.
• Los enunciados se han generado un poco «al azar» para que resulten cálculos no muy complicados. Puede que encuentres algún problema en el que los datos no te cuadran con la realidad. No te preocupes; apúntalos para debatirlo en clase y propón algún ajuste que podría haber en esas cantidades (no hace falta resolverlo con esos nuevos números).

Nuestro turno

También actuaremos como en el caso de la proporcionalidad inversa:

Cuando ya sepamos resolver este tipo de ejercicios, conoceremos un poco cómo se estructuran. Es el momento de plantear y resolver nosotros un problema de reparto inversamente proporcional. Tendrás que entregarlo junto con el resto de problemas resueltos en la libreta. Debes elegir una situación diferente a las que aparecen en el applet (por ejemplo, no vale una «de grifos»). Como ayuda, aquí tienes un pequeño guion:

1. Debe ser un reparto proporcional a tres magnitudes (o más). En el applet aparecen varios ejemplos. Al menos una de ellas debe ser con proporcionalidad inversa.
2. Establece los valores de las magnitudes entre las que hay que repartir.
   • El valor del total a repartir lo dejaremos para el final.
   • Elige números sencillos para los denominadores, porque luego habrá que calcular su MCM para reducir a denominador común.
3. Resuelve la parte de simplificar los coeficientes reduciendo a denominador común, y calcula el correspondiente total.
4. Multiplica ese total por algún número sencillo, como 2, 3 o 10, y establece ese número como «total a repartir».
5. ¡Ya tienes los datos del problema junto su solución! Intenta que la redacción del problema resulte original. Redacta también la solución, incluyendo cómo justificas que la relación es inversa.